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2015年秋新人教A版高中数学选修4-5:1.2.3《绝对值不等式的解法二》ppt课件_图文

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第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二) 栏 目 链 接 |x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c) 型不等式的解法 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对于 形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数. 栏 目 链 接 解析:解法一 如下图,设数轴上与-1,1对应的点分 别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1, 1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A, B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x. 栏 目 链 接 3 ∴-1-x+1-x=3,得 x=- , 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3,B1 对应数 轴上的 x, 3 ∴x-1+x-(-1)=3.∴x= . 2 从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距离之和都小 于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的距离之和都大 于 3. 3 3 ∴原不等式的解集是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2 栏 目 链 接 解法二 当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3, 3 解得 x≤- . 2 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不 成立,无解. 当 x≥1 时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 3 所以 x≥ . 2 3 3 综上,可知原不等式的解集为{x|x≤- 或 x≥ }. 2 2 栏 目 链 接 解法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. -2x-3,x≤-1, ? ? 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=?-1,-1<x<1, ? ?2x-3,x≥1. 作出函数的图象(如下图). 栏 目 链 接 3 3 函数的零点是- , . 2 2 3 3 从图象可知, 当 x≤- 或 x≥ 时, y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 2 2 ? ? 3? ?3 所以原不等式的解集为?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ? 点评:这三种解法以第二种解法最重要,但是其中的分段讨论要 遵循分类讨论的原则“不重不漏”;第一种解法中,关键是找到一些 特殊的点如 A1,B1;第三种解法中,准确画出图象,是 y=|x+1|+|x -1|-3 的图象,而不是 y=|x+1|+|x-1|的,其次函数的零点要找 准.这些都是求解集的关键. 栏 目 链 接 ?变式训练 1 . (2014· 广 东 高考 理 科 ) 不 等 式 |x - 1| + |x + 2|≥5 的 解 集 为 ________. ? ?x≤-2, 解析:方法一:由? 得 x≤-3; ? ?-(x-1)-(x+2)≥5, ? ?-2<x<1, 由? 无解; ?-(x-1)+(x+2)≥5, ? ? ?x≥1, 由? 得 x≥2. ? ?(x-1)+(x+2)≥5 栏 目 链 接 即所求的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. 方法二:在数轴上,点-2 与点 1 的距离为 3,所以往左右边界 各找距离为 1 的两个点,即点-3 到点-2 与点 1 的距离之和为 5, 目 点 2 到点-2 与点的 1 的距离之和也为 5, 原不等式的解集为{x|x≤- 3 或 x≥2}. 答案:{x|x≤-3 或 x≥2}. 链 接 栏 含绝对值的不等式的恒成立问题 对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则 k 的取 值范围是( ) 栏 目 链 接 A.k<3 B.k<-3 C.k≤3 D.k≤-3 解析:解法一 值符号. 此题可用分类讨论的思想,用零点分段去掉绝对 ? ?x≤-1, ①? ? ?-(x+1)+(x-2)>k; ? ?-1<x<2, ②? ? ?(x+1)+(x-2)>k; ? ?x≥2, ③? ?(x+1)-(x-2)>k. ? 栏 目 链 接 由①得 k<-3.由②得-1<x<2 时,k<2x-1.而 2x-1∈(-3, 3).由③得 k<3.∵要对任意 x 都使该不等式成立,∴当 k<-3 时, ①②③都可以满足. 解法二 虽然解法1容易理解,但较繁琐,此类题也可以 根据绝对值的几何意义求解,方法很巧妙,也具有一般性, 要注意|x-a|可以看做在数轴上点x到点a的距离.根据绝 对值的几何意义(如图所示): 栏 目 链 接 |x+1|可看做点 x 到点-1 的距离,|x-2|可以看做点 x 到点 2 的 距离,因此|x+1|-|x-2|即为数轴上任意一点 x 到点-1 的距离与到 点 2 的距离的差,记作(*),要使它大于 k 恒成立,就要讨论点 x 的 位置. ①当点 x 在点-1 的左侧时,如图所示的点 R,则(*)恒为-3. ②当点 x 在点 2 的右侧时,如上图所示的点 T,则(*)恒为 3. ③当-1≤x≤2 时,如图所示的点 S,则-3≤(*)≤3. 由①②③可知无论 x 为何实数,(*)的范围都是-3≤(*)≤3.因此 若|x+1|-|x-2|>k,只需 k<-3. 栏 目 链 接 解法三 此题也可用函数图象的方法来解,这种方法也 是今后经常用到的.令y=|x+1|-|x-2|,在平面直角 坐标系中作出其图象,如图所示. 栏 目 链 接 -3,x≤-1, ? ? y=?2x-1,-1<x<2, ? ?3,x≥2, 由图得到-3≤y=|x+1|-|x-2|≤3.以下同解法二. 答案:B 点评: 不等式的恒成立问题(不等式解集为 R 或为空集都属恒 栏 目 链 接 成立问题)都可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立?f(x)max<a,f(x) >a 恒成立?f(x)min>a. ?变式训练 2.已知不等式|x+2|-|x+3|>m,分别求出下列情况中



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