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「精品」人教A版高中数学选修2-1课件立体几何中的向量方法(3)-精品课件

发布时间:

3.2立体几何中的向量方法(3)
----利用向量解决*行与垂直问题
xxz

一、复*
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、*面,把立体几何问题转化为向量问题; (化为 向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、*面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题; (进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义(。回到图形 问题)

2、*行与垂直关系的向量表示

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设直线l,m的方向向量分别为?,a ,? b*面,

的法向?量分? 别为,

uv

(1)*行关系
线线*行 l // m
线面*行 l // ? 面面*行 ? // ?

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设直线l,m的方向向量分别为?,a ,? b*面,

的法向?量分? 别为,

uv

(2)垂直关系

线线垂直 线面垂直 面面垂直

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二、新课
(一)用向量处理*行问题 (二)用向量处理垂直问题

(一)用向量处理*行问题

例1: 如图已知四边形ABCD、

E

ABEF为两个正方形,

MN分别在其对角线BF上,

FM

B

C

且FM ? AN.求证:MN // *面EBC

N

证明: 在正方形ABCD与ABEF中, A

D

BE ? AB, FM ? AN, FB ? AC,
?存在实数?,使FM ? ? FB, AN ? ? AC.

?MN ? MF ? FA ? AN ? ? BF ? EB ? ? AC

? ?(BE ? BA ? AB ? AD) ? EB ? ?(BE ? AD) ? EB

? ?(BE ? BC) ? BE ? (? ?1)BE ? ? BC.

例1: 如图已知四边形ABCD、

E

ABEF为两个正方形,

MN分别在其对角线BF上,

FM

B

C

且FM ? AN.求证:MN // *面EBC

N

? MN、BE、BC共面.

A

D

M ?*面EBC,?MN // *面EBC

评注: 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面*行问题。 本题用的就是向量法。

例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中, 求证 : *面A1BD // *面CB1D1
证明: 如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A D
直角坐标系.设正方体的棱长为1,

Z

C
B

则A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1D ? (?1, 0,1), B1C ? (?1, 0,1)

D1

C1

A1
X

Y
B1

? A1D // B1C.即直线A1D // B1C, 则A1D // *面CB1D1.同理右证:A1B // *面CB1D1. ?*面A1BD // *面CB1D1.

B1 Z

例2.在正方形ABCD - A1B1C1D1中, 求证 : *面A1BD // *面CB1D1
D
A

C
B

评注:

D1

C1

由于三种*行关系可以相互转化, A1

Y

所以本题可用逻辑推理来证明。 X

用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化,

在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系,

方能减少运算量。本题选用了坐标法。

(二)用向量处理垂直问题 Z 例3 :

在正方体ABCD ? A' B 'C ' D '中.

E

E,F分别是CC ', BD的中点.

求证:A' F ? *面BDE.
证明:如图

Y
F

取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2.

A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)

例3 :

Z

在正方体ABCD ? A' B 'C ' D '中.

E,F分别是CC ', BD的中点.

E

求证:A' F ? *面BDE.

A' F ? (?1,1, ?2), DB ? (2, 2,0), DE ? (0, 2,1)

Y
F

A' F ? DB ? (?1,1, ?2) ? (2, 2,0) ? 0,X

A' F ? DE ? (?1,1, ?2) ? (0, 2,1) ? 0

? A' F ? DB, A' F ? DE,又DB DE ? D.? A' F ? *面BDE

例3 :

在正方体ABCD ? A' B 'C ' D '中.

Z

E,F分别是CC ', BD的中点.

求证:A' F ? *面BDE.
评注: 本题若用一般法证明, 容易证A’F垂直于BD, 而证A’F垂直于DE, 或证A’F垂直于EF则较难, 用建立空间坐标系的方法 X 能使问题化难为易。

E
Y
F

练*:

B'

在三棱柱ABC ? A' B 'C '中,

C' A'

底面是正三角形,AA' ? 底面ABC,

A'C ? AB ',求证:BC ' ? AB '
证明:设底面边长为1,

设a ? AA', b ? AB, c ? AC C

B

A

a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1/ 2.

A'C ? A' A ? AC ? c ? a

向量法

AB' ? AB ? BB' ? b ? a

BC' ? BA ? AC ? CC' ? c ? a ? b

练*:

B' C'

在三棱柱ABC ? A' B 'C '中,

A'

底面是正三角形,AA' ? 底面ABC,

A'C ? AB ',求证:BC ' ? AB '

0 ? A'C ? AB ' ? (c ? a) ? (b ? a)

C

B

2

? c?b ? c?a ? a?b ? a

A

2

1

a ?c?b ?

2

BC'? AB' ? (c ? a ? b) ? (b ? a)

? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a) ? (2a ? b) ? (b ? a)

2

2

2

2

? 2a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 1?1 ? 0

练*:

在三棱柱ABC ? A' B 'C '中,

B'

C'

底面是正三角形,AA' ? 底面ABC,

A'

A'C ? AB ',求证:BC ' ? AB '

设底面边长为2,高为h, 坐标法

如图建立空间直角坐标系.

C

B

A
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,?1,0).

A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,?1, h). AB ' ? (? 3,1, h), A'C ? (? 3, ?1, ?h), BC ' ? (0, ?2, h) 0 ? AB ' ? A'C ? 3 ?1? h2, h2 ? 2.

AB ' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h2 ? 0.? BC ' ? AB '

三、小结
利用向量解决*行与垂直问题 ? 向量法:利用向量的概念技巧运算解决问题。 ? 坐标法:利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。

四、作业

1. 如图, 直三棱柱ABC ? A1B1C1中, ?ACB ? 900 ,

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的

两条对角线交点为D, B1C1的中点Z 为M .

求证CD ? *面BDM

A

A1

解:

如图,以C为原点建立空间直角坐标系.

D

B( 2,0,0), B1( 2,1,0), A1(0,1,1),

C

D( 2 , 1 , 1), M ( 2 ,1,0),

B

2 22 2

X

B1

C1
MY

211 CD ? ( 2 , 2 , 2), A1B ? (

2, ?1, ?1),DM ? (0, 1 , ? 1), 22

作业:1.

如图, 直三棱柱ABC ? A1B1C1中, ?ACB ? 900 ,

AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1BZ1B的

两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .

求证CD ? *面BDM

A

则CD ? A1B ? 0, CD ? DM ? 0.

D C

?CD ? A1B,CD ? DM .

B X

A1B, DM为*面BDM内的两条相交直线,

?CD ? *面BDM .

B1

A1
C1
MY

作业:2.课本p.116第2题。
? Bye-bye!

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b

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精心制作,敬请观赏

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