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中学数学的思想和方法课件PPT

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第四章 中学数学的思想和方法 第一节 中学数学思想 ? 一.集合思想与对应思想 ? 集合论的创建者是德国数学家G.康托尔。康托尔古典集合论中的主要思想方法是 概括原则、外延原则、一一对应原则等。其中概括原则用于造集,外延原则用于 确定集与集的相等,一一对应原则用于引出基数概念。集合论的产生为经典数学 提供了理论基础。随着现代数学基础研究的深入,已使集合论的概念、思想和方 法渗透到现代数学的各个分支,使集合论在现代数学中占据了越来越重要的位置。 ? 本部分思考题和研究计划: ? 初中(高中)阶段集合思想的应用 ? 提出中学数学教学过程中集合思想教学的问题 ? 对应是一个原始概念。对应思想是指人的思维对两个集合元素之间联系的把握。 它是一种重要的数学思想。许多具体的数学方法都来源于对应思想。初等数学中 的对应思想主要体现在数形结合的思想、函数的思想及变换的思想等方面。 ? 本部分思考题和研究计划: ? 初中(高中)阶段对应思想的应用 ? 提出中学数学教学过程中对应思想教学的问题 ? 二、符号化思想 ? 数学离不开符号,数学的符号化语言能够不分国家和 种族到处通用。英国著名的哲学家、数学家罗索说过: 什么是数学?数学就是符号加逻辑。数学的符号化思 想随着数学发展的需要逐步形成,而符号化思想的发 展又成为数学发展的重要推动因素。 ? 本部分思考题和研究计划: ? 符号化思想在中学数学中的运用 ? 列方程解应用题的思想 ? 三.极限思想 ? 古代人们在揭示事物的无限可分性时, 已萌芽了极限思想。随着微积分应用的 深入,遇到的数量关系也日趋复杂,原 有的方法已不够用了。 19世纪法国数 学家柯西在总结前人成果的基础上终于 建立起微积分的理论基础—-极限论。 ? 四.随机思想 人们在社会实践活动中常常遇到两类性质截然不 同的现象:一类是必然现象.另一类是随机现象(也称偶然现 象)。对于必然现象,条件和结果之间存在着必然性的联系,它 可以由条件预知结果。但对随机现象,由于条件与结果之间不存 在必然性联系,因此不能用通常的算术、代教、三角来阐释随机 现象的规律,就需要概率论及随机过程的理论。随机思想的实质: 发现客观事物具有或然性特征,考察随机现象的各种可能性,以 辅助决策并对未来进行预测。尽管随机现象从个体上看,似乎没 有什么规律存在,但当它大量出现时,却呈现出一种总体规律性, 这就是统计规律性。随机思想在高中阶段可通过概率论的学*得 以渗透,而以概率论为基础的统计初步在小学阶段就学*了一些 基本概念。 第二节 中学数学方法 ? 一.关于的数学思维方式 ? 1. 1. 分析与综合 ? 分析与综合是思维过程的基本环节,它们是相互依存的。当我们对某一事物进行 分析时,也总在揭示这一事物的各个部分、特征、各个方面之间的联系、关系和 依存性,就是说,也在进行综合。分析和综合可以在不同的水*上进行:可以在 直接摆弄物体的情况下进行分析综合;也可以在直观形象的水*上进行分析综合; 还可以在思想上对抽象的事物进行分析综合。 ? 2.2.演绎法 ? 演绎法推理是从一般原理到特殊事例的推理。也就是以某事物 的一般判断为前 提,作出这类事物的个别特殊事物的判断的思维形式。以演绎推理为主要内容的 科学研究方法叫演绎法。 简单的演绎推理一般是通过三段论的形式来实现的。 它的理论基础是公理:如果集合M的所有元素具有(或不具有)性质P,如果x是 集合M的元素,则x也具有(或不具有)性质P。三段论包括大前提、小前提、结 论三个判断。在演绎推理中,如果大前提和小前提都真实,那么按三段论形式推 出的结论必是真实的。因此,演绎推理可以作为严格的推理方法。 ? 3.3. 比较法 ? 就是对问题进行分析,比较同类事物的不同之处及异类事物的相同之 处,获得有关问题的结论。在立体几何、分式、指数函数与对数函数等 内容的学*过程中都要使用这一方法。 ? 4.4. 归纳法 ? 可分为完全归纳法和不完全归纳法,前者是逻辑推理方法,而后者属 于合情推理范畴,以此得出的结论必须进行逻辑检验。 ? 5.5. 一般化与特殊化 ? 面对问题有时可进行一般化处理,得出普遍成立的结论,再研究具体问 题;有时将一个广义化的问题特殊化,可得到简捷的问题解决方式,且 不破坏原问题的解。 ? 6.6.概括性与系统性 ? 概括性与系统性方法在研究数学结构、建立数学认知体系等方面有着 重要应用。 ? 二.几种常见的解题方法 ? 2. 1. 化归法 :就是用联系、运动、发展变化的观点来看待 问题,把有待解决的问题,通过某种转化过程,归结为一类已经 解决或容易解决的问须。化归法的实质就是对问题进行变形,促 使矛盾转化。转出的方式要根据题目的内容灵活运用。 ? 2. 2. 假设法 :假设法是先对题目中的已知条件或问题作出 某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量上出现 的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种解题思想方法。 ? 2.3.逆推法 :采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做逆推法。 ? 2. 4. 枚举法 :解某些数学题时,有时要根据题目的一部分 条件,把可能的答案一一列举出来,然后根据另一部分条件检验, 筛选出题目的答案。这种解题方法叫枚举法。 ? 2. 5. 类比法 :“类比”是根据两个或两类事物有些属性相 同,推测它们另一些属性也可能相同的推理。在解题中,根据题 中所求问题与已知条件相类似的关系,利用类比推理,找类比模 型,从而寻找解题途径的方法叫类比法。 例16 时钟六点整, 分针与时针正好在一条直线上,至少再过多少时间,两针重合? 在思考此题时,如果把时针1小时所走的一格看作路程单位,那 么就可以联想到行程问题:“甲乙两人同时同向而行,甲在乙前 面6千米,甲每小时行1千米,乙每小时行12千米。问乙经过多少 时间能追上甲?”通过“分针、时针重合”与“追及”的类比, 就可以找到解题途径,求出两针第一次重合时间为6÷(12 - 1)



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